《高等数学一》课程教学大纲
《高等数学一》课程教学大纲
课程名称：高等数学一
英文名称：Higher Mathematics 1
课程类型：公共平台课
总学时及学分：80学时 5学分
适应对象：本科一年级（工科类专业）
主要先修课程：高中数学
执行日期：2017年9月
一、 课程的性质与任务
性质：本课程是高等学校工科类专业重要的公共平台课，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。本课程基础性、理论性强，与相关课程的学习联系紧密，也是硕士研究生入学考试的必考课程之一。
任务：通过本课程的学习，一方面使学生掌握高等数学基础知识，并能熟练的运用其分析、解决一些实际问题；另一方面通过各个教学环节逐步培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、量化思维能力、计算能力、创新意识和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
二、 课程的教学目标
本课程教学的总体目标是：一是使学生初步掌握基本理论和方法，为后继课程提供必需的数学知识和工具；二是传授数学思想，提高学生的逻辑推理、量化思维能力和空间想象能力，培养学生的创新意识；三是为专业课的学习提供知识支持。通过本课程的学习，使学生系统地获得函数与极限、导数与微分、微分中值定理、导数的应用、不定积分、定积分、常微分方程的基本理论、基本分析和运算方法，为学习工科类专业的专业课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。
三、 教学内容及其基本要求
（一）函数与极限
1.映射与函数
映射 函数
2.数列的极限
数列极限的定义 收敛数列的性质
3.函数的极限
函数极限的定义 函数极限的性质
4.无穷小与无穷大
无穷小 无穷大
5.极限运算法则
极限的四则运算 复合函数的极限的运算法则
6.极限存在准则 两个重要极限
夹逼准则 极限存在准则 两个重要极限
7.无穷小的比较
无穷小的比较 等价无穷小
8.函数的连续性与间断点
函数的连续性 函数的间断点
9.连续函数的运算与初等函数的连续性
连续函数的和、差、积、商的连续性 反函数与复合函数的连续性 初等函数的连续性
10.闭区间上连续函数的性质
有界性与最大值最小值定理 零点定理与介值定理
教学基本要求：理解函数的概念；了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性；理解复合函数的概念；了解反函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形；会建立简单实际问题中的函数关系式；理解极限的概念；掌握极限四则运算法则；了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则）；掌握两个重要极限求极限；了解无穷小、无穷大的概念；掌握等价无穷小求极限；理解函数在一点处连续的概念；了解间断点的概念；会判别间断点的类型；了解闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）。
教学重点：基本初等函数的性质及其图形；极限的概念；极限四则运算法则；利用两个重要极限求极限；无穷小、无穷大的概念；利用等价无穷小求极限；函数在一点连续的概念；间断点的概念；会判别间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）。
教学难点：建立简单实际问题中的函数关系式；极限的概念；两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则）；利用两个重要极限求极限；利用等价无穷小求极限；间断点的概念；判别间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）。
（二）导数与微分
1.导数的概念
引例 导数的定义 导数的几何意义 函数可导性与连续性的关系
2.函数的求导法则
函数的和、差、积、商的求导法则 反函数的求导法则 复合函数的求导法则 基本求导法则与导数公式
3.高阶导数
一阶导数 二阶导数 高阶导数
4.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
5.函数的微分
微分的定义 微分的几何意义 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 微分在近似计算中的应用
教学基本要求：理解导数和微分的概念；理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系；掌握利用导数描述一些物理量；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；掌握基本初等函数的导数公式；理解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性；理解高阶导数的概念；掌握初等函数一阶、二阶导数的求法；掌握隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数；掌握反函数的导数。
教学重点：导数和微分的概念；导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系；导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；基本初等函数的导数公式；初等函数一阶、二阶导数的求法；求隐函数和由参数方程所确定的函数的导数。
教学难点：导数和微分的概念；导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系；用导数描述一些物理量；复合函数的求导法则；基本初等函数的导数公式；微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性；高阶导数的概念；反函数的导数。
（三）微分中值定理与导数应用
1.微分中值定理
罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
2.洛必达法则
洛比达法则 洛比达法则使用技巧
3.函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性的判定 曲线的凹凸性与拐点
4.函数的极值与最大值最小值
函数的极值及其求法 最大值最小值问题
5.函数图形的描绘
教学基本要求：理解罗尔定理和拉格朗日中值定理；理解柯西定理；掌握洛必达法则；理解函数的极值概念；掌握用导数判断函数的单调性和求极值方法；掌握利用导数判断函数图形的凹凸性；掌握拐点；了解描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）的方法；掌握求解较简单的最大值和最小值的应用问题。
教学重点：罗尔定理和拉格朗日中值定理；函数的极值概念；用导数判断函数的单调性和求极值方法；用导数判断函数图形的凹凸性；求拐点；求解较简单的最大值和最小值的应用问题。
教学难点：罗尔定理和拉格朗日中值定理；柯西定理；求解较简单的最大值和最小值的应用问题。
（四）不定积分
1.不定积分的概念与性质
原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质
2.换元积分法
第一类换元法 第二类换元法
3.分部积分法
分部积分法 分部积分法的应用
4.有理函数的积分
有理函数的积分 可化为有理函数的积分举例
教学基本要求：理解不定积分的概念与性质；掌握不定积分的换元法与分部积分法。
教学重点：不定积分的概念与性质；不定积分的换元法与分部积分法。
教学难点：不定积分的换元法与分部积分法。
（五）定积分
1.定积分的概念与性质
定积分问题举例 定积分的定义 定积分的近似计算 定积分的性质
2.微积分基本公式
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨公式
3.定积分的换元积分法和分部积分法
定积分的换元法 定积分的分部积分法
4.反常积分
无穷限的反常积分 无界函数的反常积分
教学基本要求：理解定积分的概念与性质；掌握定积分的换元法与分部积分法；理解积分上限函数及其求导定理；掌握牛顿–莱布尼兹公式；了解广义积分的概念。
教学重点：定积分的概念与性质；定积分的换元法与分部积分法；牛顿–莱布尼兹公式。
教学难点：定积分的换元法与分部积分法。
（六）定积分的应用
1.定积分的元素法
2.定积分在几何学上的应用
平面图形的面积 体积 平面曲线的弧长
3.定积分在物理学上的应用
变力沿直线所作的功 水压力 引力
教学基本要求：理解定积分的元素法；掌握平面图形的面积公式；掌握旋转体体积公式。
教学重点：平面图形的面积公式；旋转体体积公式。
教学难点：平面图形的面积公式；旋转体体积公式。
（七）常微分方程
1.微分方程的基本概念
微分方程 微分方程的通解、特解
2.可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程的通解与特解
3.齐次方程
齐次方程 齐次方程的解
教学基本要求：了解微分方程、微分方程的解、微分方程的通解、初始条件和特解等概念；掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法；掌握求解齐次方程的方法。
教学重点：微分方程、微分方程的解、通解、初始条件和特解等概念；可分离变量的微分方程的解法；齐次方程的解法。
教学难点：微分方程、微分方程的解、通解、初始条件和特解等概念。
四、 各教学环节学时分配
五、 教学建议
授课过程中，注重重点和难点的透彻讲解，结合习题的练习、分析、讲解，巩固对基础理论的理解；同时根据学情适当微调教学内容，对于偏难的证明内容可以省略，增加计算题的练习。
六、 考核评价方法及要求
本课程以对学生高等数学一基础知识和应用能力的考核为主线，学生最终成绩采用平时成绩、测验成绩和期末考试成绩相结合的方式。
平时成绩是指任课教师通过记录每个学生上课出勤情况、课堂表现、作业情况等形式给出的成绩，占总评成绩的30%。
测验成绩是指在教学过程中通过对学生进行课堂测验而形成的成绩，测验共分4次，占总评成绩的20%。
期末考试作为一种定量测试手段，这种考试以评价学生综合应用高等数学一的知识解决实际问题的能力为主，期末考试成绩占总评成绩的50%。
七、 教材与主要教学参考资源
教材
1.同济大学数学系：高等数学（上册）第七版，高等教育出版社，2014
参考资料
1.华东师范大学数学系：数学分析，高等教育出版社，2009
2.同济大学数学系：高等数学习题全解指南第一版，高等教育出版社，2014
3.：高等数学同步测试卷，，2015
4.：高等数学，，2016
5.，，：高等数学，同济大学出版社，2017
6.：高等数学辅导讲义：，2017
7.编写组：高等数学（上下册），，2017
制定者：周 萌 2017年8月
审核者：张 曼 2017年8月
批准者：刘金宪 2017年8月
